Самостійна робота №2

Тема: Гідростатичний тиск. Закони Архімеда та Паскаля.

Мета: поглибити знання студентів з даної теми шляхом розв´язування задач.

Теорія:

2.1. ГІДРОСТАТИЧНИЙ ТИСК

Тиск р — це відношення нормальної сили F до площі S, на яку діє ця сила:

Властивості тиску такі:

тиск у рідині є напруженням стиску. На будь-яку поверхню тиск діє перпендикулярно (по нормалі);

значення тиску однакові в усіх напрямках;

значення тиску залежать від координат точки.

У СІ тиск вимірюється в паскалях (Па), 1 Па=1 Н/м². Використовуються кратні одиниці: кПа=10³ Па, МПа = 10^s Па. У технічній системі розмірність тиску — кгс/см², 1 кгс/см² = 9,8 • 10⁴ Па» »10⁵ Па.

Розрізняють тиск, що відповідає абсолютному нулю, і тиск атмосферний (рис. 2.1). Щодо абсолютного нуля тиск у будь-якій точці називається абсолютним р_абе. Щодо атмосферного тиск називається надлишковим р_н, або манометричним р_ман (якщо він більший від атмосферного), і вакуумметричним, або просто вакуумом р_вак (якщо він менший від атмосферного).

Стан рідини, що перебуває в рівновазі, описує основне диференціальне рівняння

(2.2)

dp=p (Xdx+ Ydy + Zdz),

де dp — повний диференціал тиску; X, Y, Z — прискорення уздовж координатних осей; dx, dy, dz — приріст координат.

Якщо на рідину діє тільки прискорення земного тяжіння, тобто Z = —g; X=Y = 0, то після інтегрування рівняння (2.2) отримаємо основне рівняння гідростатики:

де z — геометрична висота, тобто висота будь-якої точки над довільною горизонтальною площиною О—О; p/pg — п'єзометрична висота, тобто висота, на яку підніметься рідина в трубці (п'єзометрі) під дією тиску р. Суть основного рівняння гідростатики полягає в том& що для різних точок нерухомої рідини сума геометричної та п'єзометричної висот незмінна (рис. 2.2, а).

Друга форма запису основного рівняння гідростатики —

р=р_o+pgh, (2.4)

тобто тиск р у довільній точці нерухомої рідини дорівнює сумі тиску р_о на вільній поверхні і тиску pgh від висоти стовпа рідини h (рис. 2.2, б).

2.2. ПРИЛАДИ ДЛЯ ВИМІРЮВАННЯ ТИСКУ

Для вимірювання тиску використовують рідинні (барометр, пєзометр, манометр, вакуумметр, дифманометр), механічні (пружинні, мембранні, сильфонні манометри, вакуумметри і мановакуумметри) та електричні прилади.

Рис. 2.4. Ртутний барометр Рис. 2.5. П'єзометр. Рис. 2.6. Рідинний манометр.

Барометр складається з відкритої чашки, заповненої ртуттю, та зі¹, скляної трубки, верхній кінець якої запаяний, а нижній опущений у чашку під рівень ртуті (рис. 2.4). У верхній, частині трубки повітря нема, тому в ній, діє тиск насиченої пари ртуті p_s. При 20 °С p_s=2335 Па. Значення атмосферного тиску обчислюють за формулою

де р_р — питома маса ртуті; Ah — поправка на капілярність, яку приймають (l/10⁵)d; d — внутрішній діаметр трубки.

П'єзометр — це прилад для вимірювання невеликого тиску в рідині за допомогою висоти стовпа цієї ж рідини (рис. 2.5). Він складається з вертикальної скляної трубки, верхній кінець якої відкритий і сполучений з атмосферою, а нижній приєднаний до посудини, в якій вимірюють тиск р. За основним рівнянням гідростатики

Рідинний манометр — це (7-подібна скляна трубка, у коліні якої міститься рідина, важча від тої, що заповнює посудину (рис. 2.6). Один кінець трубки приєднаний до посудини, другий відкритий. Тиск на вільній поверхні рідини р₀ обчислюють за формулою

де рь р₂ — відповідно питома маса робочої рідини (наприклад, ртуті) і рідини, що міститься в посудині.

Рідинний вакуумметр подібний до рідинного манометра (рис. 2.7). Тиск р_о на вільній поверхні рідини, якщо трубка приєднана вище від цієї поверхні, обчислюють за формулою

Для вимірювання різниці тисків у двох точках використовують диференціальний манометр (рис. 2.8). Це U-подібна трубка, заповнена робочою рідиною. Кожний з кінців трубки приєднаний до точок, між якими треба виміряти різницю тисків Ар за формулою

Для вимірювання тиску більше 0,02 ... 0,03 МПа користуються механічними манометрами.

Пружинний манометр (рис. 2.9, а) складається з корпуса 5, штуцера 6, манометричної (пружинної) трубки 4, передавального механізму З, стрілки 2 і шкали 1. Рідина під тиском надходить у штуцер, а потім у пружину. Під дією тиску пружина розпрямляється. Рух кінця пружини через передавальний механізм передається стрілці.

У мембранному манометрі (рис. 2.9,6) на мембрану З передається тиск рідини, під дією якого мембрана прогинається. Цей прогин передається через повід 2 і зубчастий сектор 1 на стрілку.

Механічні вакуумметри мають таку ж будову, як і манометри, тільки пружина або мембрана, а разом з ними і стрілка під дією вакууму рухаються в інший бік. Мановакуумметри мають дві шкали — для надлишкового тиску і для розрідження. Якщо на прилад подається тиск, більший від атмосферного, стрілка відхиляється вправо від нуля, а якщо в штуцері буде розрідження — стрілка переміщується вліво.

Механічні манометри мають граничне значення шкали від 0,05 до 1000 МПа, клас точності —( від 0,005 до 6,0).

Електричний манометр має чутливий елемент — мембрану. Рух мембрани передається повзуну потенціометра, який разом з покажчиком підімкнений до електричної схеми.

Рис. 2.9. Манометри: а — пружинний; б — мембранний.

2.3. ЗАКОН АРХІМЕДА. ПЛАВАННЯ ТІЛ

На тіло, занурене в рідину, за законом Архімеда діє виштовхувальна сила F_a, яка дорівнює вазі рідини, витісненої тілом:

де V — об'єм зануреної в рідину частини тіла.

Зіставляючи вагу тіла в повітрі G і виштовхувальну силу F», виділяють три випадки:

якщо G~>F_a, тіло тоне;

якщо G = F_a, тіло перебуває на тій глибині, де його розмістять (завислий стан);

якщо G< F_a, тіло буде випливати доти, доки вага G не порівняється з силою F_a', що дорівнює вазі об'єму зануреної в рідину частини тіла, причому F_a >F_a.

Оскільки на тіло діє виштовхувальна сила, вага його в рідині буде меншою, ніж у повітрі:

де р_р, р_т — відповідно питома маса рідини і тіла.

Приклад 2.1. Поплавок квадратного перерізу повинен відкривати клапан при підвищенні рівня в резервуарі на 2 см. Зусилля відкривання клапана F = 10 Н. Якими повинні бути розміри поплавка в поперечному горизонтальному перерізі?

Розв'язання. При нормальному рівні поплавок плаває повільно без натягу тяги, що з'єднує його з клапаном. З підвищенням рівня виникає натяг, при h = 0,02 м поплавок перебуватиме під дією піднімальної сили F_a=10 Н.

Отже, , звідки

При квадратному перерізі поплавка його бік a = = = = 0,226 м = 22,6см.

Приклад 2.2. Корона масою 14,7 кг має під водою вагу, що відповідає масі 13,4; кг. Визначте, чи корона золота. Розв'язання. Вага тіла, зануреного у воду,

G_P = G — F_a,

де G = p_TgV — вага тіла; F_a — архімедівська сила. Отже,

де р_р — питома маса води. Тоді

Питома маса матеріалу корони р_т = 11,3·р_р = 11,3·1000 = = 11300 кг/м³. Така питома маса відповідає свинцю, а не золоту (питома маса золота р_т= 19300 кг/м³).

Приклад 2.3. Нафтоналивне судно прямокутного перерізу з плоским дном шириною 20 м і довжиною 100 м повністю завантажене дає осадку 2,5 м. Без вантажу осадка судна 0,4 м. Визначте вагу нафти, яку перевозить судно.

Розв'язання. Прийнявши, що питома маса морської води р = 1020 кг/м³, обчислимо вагу витісненої води

Вага порожнього судна . Отже, вага нафти

Приклад 2.1. В U-подібну трубку залито три рідини — воду (р₁= 1000 кг/м³), ртуть (р2= 13600 кг/м³) і бензин (р₃ = 700 кг/м³). Рівні цих рідин показані на рис. 2.10, причому z₀—z₁ = 0,2 м; z₃— z₂ = 0,l м, a z₁ + z₂=l м. Визначте положення меж розділу z₁ і z₂, а також положення вільних поверхонь z₀ і z₃ відносно певної площини порівняння О—О.

Розв'язання. Відповідно до основного закону гідростатики тиск у точці А

де Р_ат — атмосферний тиск; р₁ — питома маса води. З іншого боку на тому ж рівні (точка В)

Прирівнявши праві частини рівнянь, маємо

або врахувавши, що z₂= l—z_b визначаємо

Підставивши числові значення, отримуємо

Приклад 2.4. Обчисліть різницю тисків у резервуарах А і В (рис. 2.11), заповнених водою. Різниця рівнів ртуті в диференціальному манометрі h = 50 мм.

Розв'язання. Запишемо рівняння рівноваги щодо нижнього рівня ртуті. У лівому коліні

у правому —

де p₁ — питома маса води; р₂ — питома маса ртуті. Прирівнявши праві частини рівнянь, отримаємо

звідки

Винесемо р₁ за дужки. Тоді, позначивши р₂/р₁ = 6, маємо ∆р = p₁gh(δ— 1). Оскільки δ=13,6, то ∆р=12,6 p_xgh = 12,6-1000-9,81 · 0,05 = 6180,3 Па.

Приклад 2.5 Визначте діаметр D поршня гідравлічного преса, який повинен забезпечити зусилля F₂ = 5000 Н при зусиллі на ручці преса N= 150 Н. Діаметр малого поршня d = 5 cm. Плечі ручки а і b відповідно дорівнюють 15 і 75 см (рис. 2.12). Коефіцієнт корисної дії преса 0,9. Розв'язання. Використовуємо формулу

Тиск обчислюємо за формулою р = 4 FJnd².

З рівняння моментів відносно шарніра О

Тоді тиск під малим поршнем

Рис. 2.12.

Такий же тиск буде і під великим поршнем. Порівнявши першу й останню формули і врахувавши ККД, отримаємо

Завдання

Варіант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
№задачі	14	15	16	17	18	2	5	1	2	3
Варіант	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
№задачі	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
Варіант	21	22	23	24	25
№задачі	3	1	7	18	6

Задача №1

Водолази працювали на глибині 30 м. Визначити тиск на цій глибині і силу тиску на скафандр водолаза, якщо площа поверхні дорівнює 2,35 м. Атмосферний тиск вважати 1013 гПа.

Задача №2

Водолази працювали на глибині 50 м. Визначити тиск на цій глибині і силу тиску на скафандр водолаза, якщо площа поверхні дорівнює 2,5 м. Атмосферний тиск вважати 980665 Па, густина води у морі 1050 кг/м.

Задача №3

В відкритому резервуарі знаходиться рідина густиною 1230 кг/м. Манометр, що під´єднали у деякій точці до стінки резервуара показує тиск =0,31 кгс/см. На якій висоті над даною точкою знаходиться рівень рідини у резервуарі? ( 1кгс=9,81 Н).

Задача №4

Вакуумметр на барометричному конденсаторі показує вакуум , рівний 60 см рт. ст. Барометричний тиск 748 мм рт. ст. Визначити абсолютний тиск у конденсаторі.

Задача №5

Вакуумметр на барометричному конденсаторі показує вакуум , рівний 60 см рт. ст. Барометричний тиск 748 мм рт. ст. На яку висоту піднімається вода в барометричній трубі.

Задача №6

Визначити повний та надлишковий тиск води у відкритій посудині на глибині 2,5 м, якщо барометр показує 1020 кПа. Питома маса 1020 кг/м³ .

Задача №7

На малий поршень діаметром 36 мм ручного гідравлічного пресу діє сила 540 Н. Нехтуючи втратами, визначити силу, що діє на тіло, що пресують, якщо діаметр великого поршня дорівнює 350 мм.

Задача №8

Визначити діаметр поршня гідравлічного преса, який повинен забезпечити зусилля Р=5000Н при зусиллі на ручці преса N=150 Н. Діаметр малого поршня 5 см. Коефіцієнт корисної дії преса 0,9.

Задача №9

На малий поршень діаметром 40 мм ручного гідравлічного пресу діє сила 589 Н. Визначити силу, що діє на тіло, що пресують, якщо діаметр великого поршня дорівнює 300 мм, а ККД пресу 85 %.

Задача №10

Площа малого поршня гідростатичного пресу 10 см. На нього діє сила 200 Н. Площа великого поршня 200 см. Яка сила діє на великий поршень(ККД 75 %)?

Задача №11

Поршень гідравлічного пресу має площу 180 смі діє силою 18 кН. Площа малого поршню 4 см. З якою силою діє менший поршень на масло у пресі (ККД 80 %)?

Задача №12

Малий поршень гідравлічного пресу під дією сили 500 Н опустився на 15 см. При цьому великий поршень піднявся на 5 см. Яка сила діє на великий поршень?

Задача №13

Залізобетонна плита розміром 3,51,50,2 м повністю занурена у воду. Обчислити архимедову силу, що діє на плиту.

Задача №14

Залізобетонна плита розміром 40,30,25 м занурена у воду на половину свого об’єму. Обчислите архимедову силу, що діє на плиту.

Задача №15

Відомо, що маса мармурової плити 40,5 кг. Яку силу треба прикласти, щоб утримати цю плиту у воді?( Густина мармуру 2700 кг/м.)

Задача №16

Дитяча кулька об’ємом 0,003 м наповнена воднем. Маса кульки 3, 4 г. Яка під´ємна сила дитячої кульки?( Густина повітря 0,00129 кг/м, густина водню 0,00009 кг/м.)

Задача №17

Радіозонд об’ємом 10 м наповнений воднем. Якої маси радіоапаратуру він може підняти у повітрі, якщо оболонка його має вагу 6 Н? ( Густина повітря 0,00129 кг/м, густина водню 0,00009 кг/м.)

Задача № 18

Корона масою 14,7 кг має під водою вагу, що відповідає масі 13,4 кг. Визначити чи корона золота?( Густина золота 19300 кг/м³.)