ЛЕКЦІЯ № 4

Тема: Гідростатичний тиск на плоску, криволінійну поверхні та в трубах. Визначення товщини стінки труб.

План

1. Тиск рідини на плоску поверхню

2. Тиск рідини на циліндричну поверхню

3. Сила тиску рідин на стінки циліндричних труб

4. Формули для розрахунку товщини стінок труб та циліндричного резервуара

Тиск рідини на плоску похилу стінку

Нехай ми маємо резервуар з похилою правої стінкою,  заповнений рідиною з питомою вагою γ. Ширина стінки в напрямі, перпендикулярному площині креслення (від читача), дорівнює b (рис.2.3). Стінка умовно показана розгорнутої щодо осі АВ ізаштрихована на малюнку. Побудуємо графік зміни надлишкового гідростатичного тиску на стінку АВ.

Так як надлишковий гідростатичний тиск змінюється за лінійним закон P = r gh, то для побудови графіка, званого епюрою тиску, достатньо знайти тиск в двох точках, наприклад А і B.

Рис. 1 – Дія гідростатичного тиску на плоску стінку

Надлишковий гідростатичний тиск в точці А буде дорівнює

Відповідно тиск в точці В:

де H - глибина рідини в резервуарі.

Відповідно до першого властивості гідростатичного тиску, воно завжди направлено по нормалі до огороджувальної поверхні. Отже, гідростатичний тиск в точці В, величина якого дорівнює γН, треба направляти перпендикулярно до стінки АВ. Поєднавши точку А з кінцем відрізка γН, отримаємо трикутну епюру розподілу тиску АВС з прямим кутом в точці В. Середнє значення тиску буде дорівнює

(2.4)

Якщо площа похилій стінки S = bL, то рівнодійна гідростатичного тиску дорівнює

(2.5)

где = Н/2 – глибина занурення центра ваги плоскої поверхні під рівень рідини.

Однак точка докладання рівнодіюча гідростатичного тиску Ц.Д. не завжди буде збігатися з центром ваги плоскої поверхні. Ця точка знаходиться на відстані  l від центру тяжіння і дорівнює відношенню моменту інерції майданчика відносно центральної осі до статичного моменту цієї ж майданчики.

(2.6)

где - момент інерції площі S відносно центральної осі, паралельної Аx.

В окремому випадку, коли стінка має форму прямокутника розмірами b ´ L і одна з його сторін лежить на вільній поверхні затмосферним тиском, центр тиску Ц.Д. знаходиться на відстані b / 3 від нижньої сторони.

Тиск рідини на циліндричну поверхню

Нехай рідина заповнює резервуар, права стінка якого являє собою циліндричну криволінійну поверхню АВС (рис.2.4), що простирається в напрямку читача на ширину b. Відновимо з точки А перпендикуляр АТ до вільної поверхні рідини. Об'єм рідини у відсіку АОСВ знаходиться в рівновазі. Це означає, що сили, що діють на поверхні виділеного об'єму V, і сили ваги взаємно врівноважуються.

Уявімо, що виділений обсяг V являє собою тверде тіло того ж питомої ваги, що і рідина (цей обсяг на рис.2.4 заштрихований).Ліва поверхню цього об'єму (на кресленні вертикальна стінка АТ) має площу S_x = b·H, яка є проекцією криволінійної поверхні АВС на площину yOz.

Рис. 2 – Дія гідростатичного тиску на циліндричну стінку

З рівняння (2.5) сила гідростатичного тиску на площу S _x дорівнює 

.

З правого боку на відсік діятиме реакція R циліндричної поверхні. Нехай точка докладання і напрямок цієї реакції будуть такі, як показано на рис.2.4. Реакцію R розкладемо на дві складові R_x и R_z.

З діючих поверхневих сил залишилося врахувати тільки тиск на вільній поверхні Р _0. Якщо резервуар відкритий, то природно, що тиск Р ₀ однаково з усіх сторін і тому взаємно врівноважується.

На відсік АВСО буде діяти сила власної ваги G = γV, спрямована вниз.

Спроектуємо всі сили на вісь О_х:

(2.7)

Тепер спроеціруем всі сили на вісь Оz:

(2.8)

Складова сили гідростатичного тиску по осі Oy звертається в нуль, значить .

Таким чином, реакція циліндричної поверхні в загальному випадку дорівнює

а               оскільки               реакція               циліндричної               поверхні дорівнює рівнодіючої гідростатичного тиску R = F, то робимо висновок, що

(2.9)

Розрахунки показують, що імовірність розриву труб в поперечному розтині набагато менша імовірності руйнування по утворюючої циліндру під дією тиску рідини, яка знаходиться в середині труби. Т.ч. при розрахунках труб визначають тільки імовірність руйнування їх по утворюючій.

Внутрішній гідростатичний тиск в трубах

Труби і резервуари, наповнені рідиною, знаходяться під дією внутрішнього гідростатичного тиску, який може розірвати трубу або резервуар, якщо товщина їх стінок буде недостатня для сприйняття тиску рідини.

Розглянемо поперечний перетин труби (рис. 3) з внутрішнім діаметром d або радіусом r і довжиною L, яка знаходиться під дією внутрішнього гідростатичного тиску.

Завдання визначення товщини стінок труби зводиться до знаходження сили Р, прагнучої відірвати одну половину труби від іншої по лінії АВ, чому протидіє сила Т - опір матеріалу стінок труби. Сила Р - це рівнодіюча сил, що діють нормально до внутрішньої поверхні труби. Знайти цю рівнодіючу легше, якщо замінити тиск на криволінійну поверхню тиском на площину (в даному випадку діаметральну площину АВ).

Тиск від діаметральної площини АВ передається через рідину на криволінійну поверхню АСВ труби.

Якщо вісь труби горизонтальна, то сила Р протидіє вазі рідини G. Оскільки сила G незначна в порівнянні з силою Р, то в більшості випадків нею можна нехтувати.

Якщо тиск рідини на одиницю площі рівний р, то на всю площу S воно складатиме:

Р = рS = рdL.

Сила Т, що виражає опір матеріалу стінки труби, визначається розмірами поперечного перетину стінки труби і напругою розриву її матеріалу, що допускається, тобто

Т = sdL,

де s - товщина стінки труби.

Рис. 3. Схема до визначення товщини стінки труби

Оскільки р = 2Т (два кроки розриву), то р = рdL = 2sdL. Тоді s = р / 2dL або, підставивши замість р її значення, отримаємо

звідки

Розрахункову товщину стінок d слід збільшити на виробничий припуск (запас на неточність відливу, плющення, корозію і т.п.), а = 1 ¸ 3 мм, тоді

Якщо водопровідна труба утворює коліно з кутом поворотуa, то рідина, що заповнює трубу на ділянці коліна (рис. 13) діє з силою

p₁ = p₂ = 0,25 pD2р.

Якщо труба має коліно у вертикальній площині, то з паралелограма сил знаходимо

Р = 2p₁sin = 0,5 pD2р sin.

На цю силу зазвичай розраховують так звані анкерні опори трубопроводів, що встановлюються в місцях повороту труб.

Приклади рішення задач

Задача 2.1. Визначити всі види гідростатичного тиску а в точці А судини з водою (див. рис. 3) на глибині h=4 м. Якщо р₀ = р_бар = 105 Па; g = рg = 1000 ×·9,81 @104 Н/м3.

Рішення.

1. Визначаємо абсолютний гідростатичний тиск в точці А:

рабс = р₀ + gh = 105 + 104 × 4 = 14 × 104 Па.

2. Визначаємо надлишковий гідростатичний тиск:

р_надл = р₀ - ра = g × h = 104 × 4 = 4 × 104 Па.

Задача 2.2. Визначити зусилля G, яке слід прикласти до кінця важеля гідравлічного пресу для отримання зусилля р₂ = 200 кН, якщо відомі:

довжина великого плеча важеля а=1,0 м;

довжина малого плеча важеля а=0,1 м;

D=300 мм; d= 30 мм; h = 0,8.

Рішення.

Відомо, що формула для гідравлічного преса має вид Р2 = hР1 (D/d)2, а також за законом важеля другого роду Р1 = G (a / b).

Підставивши Р1 у формулу для Р2 і зробивши перетворення, отримаємо:

тоді

Задача 2.3. У закритій судині з водою (див. рис. 6) абсолютний тиск на вільній поверхні р0 = 3 × 105 Па. Барометричний тиск р_бар = 1,013 × 105 Па.

Визначити висоту hр, на яку піднімається вода в п'єзометричній трубці, що сполучається з судиною на глибині h= 1,4 м під вільною поверхнею.

Рішення.

1. Розглянемо умову рівноваги рідини в точці А. Зі сторони рідини в судині точка А випробовує тиск р. = р₀ +rgh, а з боку рідини в трубці точка А випробовує тиск

р = р_бар + rgh_р.

2. На підставі другої властивості гідростатичного тиску величини цього тиску однакові, тобто

р₀ +rgh = р_бар + rgh_р.

3. Тоді шукана величина h_р визначиться:

Задача 2.4. Прямокутний понтон з розмірами 20´30 м плаває у воді. Визначити його осідання h, якщо повна вага понтона з вантажем на нім G=12 × 103 кН.

Рішення.

1. По умові плавучості вагова водотоннажність р рівна G, тобто Р=G=12 × 10³ кН, а також g = 10 кН/м³.

2. Визначаємо вагову водотоннажність:

Р = g × V = 10 × 20 × 30 h.

3. Таким чином

12 × 10³ = 10 × 20 × 30 h, звідки

Задача 2.5. Прямокутний відкритий резервуар з розмірами дна 3´5 м призначений для зберігання 30 м³ води. Визначити сили тиску на стінки і дно резервуару.

Рішення.

1. Визначаємо висоту рівня води в резервуарі (висота змочених стінок):

h = V / (а × b) = 30 / (3 × 5) = 2 м.

2. Визначаємо силу тиску на дно резервуару:

p _надл= rghS_дн =103 × 9,81 × 2 × 3 × 5 = 294300 Н = 294,3 кН.

Силу тиску на стінку:

Р = (р₀+ rghц) × Sст.

Оскільки резервуар відкритий, то

p₀ = 0, а h_ц = 1/2; h = 1/2 × 2 = 1 м.

3. Визначаємо силу тиску на стінку шириною 3 м:

p₁ = rghцS₁ = 10³ × 9,81 × 1 × 3 × 2 = 60860 Н @ 60,9 кН.

4. То ж на стінку шириною 5 м:

Р₂ = rghцS₂ = 10³ × 9,81 × 1 × 5 × 2 = 98100 Н @ 98,1 кН.

Рекомендована література

1. Возняк Л.В., Гімер П.Р., Мердух М.І., Паневник О.В. Гідравліка, навчальний посібник. — Івано-Франківськ : ІФНТУНГ, 2012. — 327 с. : іл.

2. Мандрус В. І. Машинобудівна гідравліка. Львів, 1995

3. Конспект лекцій з дисципліни «Основи гідравліки» для студентів гірничих спеціальностей. Павлоград, 2021

4. Методичні рекомендації до виконання самостійних робіт з дисципліни «Основи гідравліки». Павлоград, 2021

5. Методичні рекомендації до виконання лабораторних робіт з дисципліни «Основи гідравліки». Павлоград, 2021