ЛЕКЦІЯ 7

 

Тема: Режими руху рідини. Число Рейнольдса. Витрати енергії від тертя по довжині трубопроводу. Формула Дарсі-Вейсбаха. Гідравличний коефіцієнт тертя. Місцеві втрати напору. Коефіцієнт місцевого опору. Повні втрати напору. 

 

План

1.    Режими руху рідини. Число Рейнольдса.

2.    Витрати енергії від тертя по довжині трубопроводу. Формула Дарсі-Вейсбаха. Гідравличний коефіцієнт тертя.

3.    Місцеві втрати напору. Коефіцієнт місцевого опору.

4.    Повні втрати напору.

 

Течія рідини має два режими руху — ламінарний і турбулент­ний. При ламінарному режимі частинки рідини рухаються пара­лельно одна до одної вздовж осі труби зі сталими швидкостями. Цей рух усталений. При турбулентному режимі окремі частинки рухаються хаотично, їхні траєкторії перетинаються, окремі об'єми перемішуються й обертаються. У результаті виникають пульсації тисків і швидкостей, тому рух неусталений.

Режим руху рідини визначають за допомогою безрозмірного числа Рейнольдса

                                  (1)

де v — середня швидкість руху рідини; R — гідравлічний радіус;  — кінематична в'язкість рідини.

Для круглих труб R = d/4, тому

                         (2)

Експериментально визначено, що для круглих труб при Re < 2300 режим   ламінарний, при R > 4000 — турбулентний, при 2300 < Re < 4000 — перша перехідна зона. У ній почергово існує то ламінарний режим, то турбулентний.

Ламінарний режим виникає в тонких капілярних трубках, під час руху високов'язких рідин, фільтрації води в порах ґрунту, при малих швидкостях. Малов'язкі рідини (вода, бензин, спирт) май­же завжди рухаються при турбулентному режимі.

 

Гідравличні опори

 

У рівнянні Бернуллі буквою h1-2 позначені втрати напору між перерізами. Ці втрати пов'язані з гідравлічними опорами, що їх долає потік рідини під час руху. Гідравлічні опори і втрати напору на них бувають двох ви­дів — поздовжні, пов'язані з довжиною і діаметром трубопроводу, і місцеві, пов'язані зі зміною конфігурації потоку на малій ділянці.

 

Поздовжні опори

 

Для визначення   поздовжніх   втрат   напору hl використовують формулу Дарсі — Вейсбаха

                                (3)

де λ — гідравлічний коефіцієнт тертя (коефіцієнт Дарсі); l – довжина трубопроводу; d — його діаметр; v — середня швидкість рідини.

При ламінарному режимі коефіцієнт Дарсі обчислюють теоре­тично:

                                         (4)

З урахуванням (4) після перетворень отримаємо декілька ви­дів формули Пуазейля:

 ;               (5)

                     (6)

де  — кінематична в'язкість; µ— динамічна в'язкість; Δрl = ρghl — втрати тиску на тертя по довжині; Q — витрата рідини; rо — радіус труби.

 Швидкість рідини в окремих точках перерізу циліндричної труби (місцева швидкість) описує формула Стокса

        (7)

                  (8)

 де r — відстань від центра перерізу до точки, в якій визначають швидкість.

Розподіл місцевих швидкостей показаний на рис. 4.1. Макси­мальна місцева швидкість

Рис. 4.1. Розподіл швидкостей руху рідини при ламінарному режимі.

 

З формули (4.4) середня швидкість

   (9)

Теоретично визначено що коефіцієнт кінетичної енергії в рів­нянні Бернуллі для ламінарного режиму α = 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.2. Розподіл швидкостей руху рідини при турбулентному режимі

При   турбулентному   режимі   рідина   перемішується,   виникає пульсація швидкостей і тисків. Місцева миттєва швид­кість з часом коливається навколо певного середнього значення — місцевої усеред­неної швидкості и0 (рис. 4.2). При  турбулентному режимі ця швидкість замінює місце­ву, чим, по суті, неусталений рух зводиться до квазі усталеного (умовно усталено­го).

Рис. 4.2. Коливання швидкості при турбулентному режимі.

 Під    час    руху    рідини вздовж стінки труби  є тонкий в'язкий прошарок (рис. 4.3), після невеликої перехідної зони — основна частина потоку: турбулентне ядро, яке рухається майже з однаковими усередненими швидкостями uo. Зв'язок між усередне­ною максимальною иом і середньою v швидкостями такий:

                (10)

 Для  розподілу швидкостей  uo  запропоновано  багато  формул, наприклад:

                                (11)

де у — відстань від стінки до точки, в якій визначають швид­кість.

Коефіцієнт кінетичної енергії α залежить від числа Рейнольдса: при Re = 4000 α = 1,13; при Re = 3·106 α = 1,025. У практичних обчис­леннях можна брати α = 1.

Для визначення коефіцієнта Дарсі при турбулентному режимі на основі численних експериментів запропоновані різні емпіричні й напівемпіричні формули. У них враховані діаметр труб, число Рейнольдса й еквівалентна шорсткість Δе (уявна висота виступів на внутрішній поверхні труб, яка: при обчисленнях дає такі ж втрати напору, як і при наявності дійсних виступів). Значення еквівалентної шорсткості наведені в додатку II.

Залежно від впливу перелічених факторів на коефіцієнт Дарсі в турбулентному режимі виділяють три зони — гідравлічно глад­ких труб, другу перехідну і квадратичну (гідравлічно шорстких труб).

Турбулентне ядро потоку під час руху не торкається виступів, і тому швидкість на гідравлічний опір не впливає. Кое­фіцієнт Дарсі залежить тільки від числа Рейнольдса, його обчис­люють за формулами Блазіуса

                           (12)

або Конакова

                    (13)

У другій перехідній зоні зі збільшенням Re висота в'язкого прошарку зменшується, і виступи шорсткості будуть контактувати з турбулентним ядром. На коефіцієнт Дарсі впливають як шорсткість, так і число Рейнольдса. У цій зоні мож­на користуватися формулами Колбрука—Уайта

  (14)

або Альтшуля

    (15)

У квадратичній зоні (гідравлічно шорстких труб), тобто при Re >500 d/Δe, висота в'язкого прошарку δв дуже мала, тому ви­ступи шорсткості обтікаються турбулентними ядром з вихорами (рис. 4.4, б).

Рис. 4.4. Шорсткість гідравлічно гладких (а);

Гідравлічно шорстких (б);

труб: 1 – турбулентне ядро;

2 – вʼязкий прошарок

 

Коефіцієнт Дарсі залежить тільки від шорсткості. Його можна обчислити за формулами Прандтля—Нікурадзе

       (16)

 

або Шифрінсона

                               (17)

 Формула Альтшуля (15) є універсальною для всіх зон тур­булентного режиму. При малих значеннях Re вона перетворюється у формулу Блазіуса (12 ), при великих — у формулу Шифрінсо­на  (17).

Отже, коефіцієнт Дарсі λ можна обчислити за допомогою двох формул: при ламінарному режимі (4), при турбулентному — (12).

Коефіцієнт Дарсі при турбулентному режимі можна визначити і графічно (додаток III). Для цього треба знати число Рейнольдса Re і відношення /. Різниця в значеннях λ, отриманих графічно і за формулою Альтшуля (15), становить не більше одної-двох одиниць у третьому знаці, що цілком допустимо.

Поздовжні втрати напору залежать від швидкості й витрати рідини при ламінарному режимі в першому степені, в зоні гладких труб — у степені 1,75, у другій перехідній зоні — у степені від 1,75 до 2, у квадратичній зоні — у степені 2, тобто у квадраті, від чого й походить її назва.

У першій перехідній зоні, як зазначено вище, навперемінно іс­нують ламінарний та турбулентний режими. Рух рідини тут ви­вчений ще недостатньо, тому неможливо наперед передбачити, в який момент часу і при якому режимі буде рухатися рідина. Кое­фіцієнт Дарсі коливається разом зі зміною режиму: при ламінар­ному він менший, ніж при турбулентному. Під час руху рідини в цій зоні доцільно брати для обчислень більший з цих коефіцієнтів Дарсі (тобто для турбулентного режиму). Визначити його можна за допомогою формул для гідравлічно гладких труб (13) або (15) чи за загальнішою формулою (12).

 При використанні некруглих труб втрати напору і коефіцієнт Дарсі обчислюють за наведеними формулами, тільки замість діа­метра d підставляють так званий гідравлічний діаметр dГ = 4 R. Гідравлічний радіус R визначають з формули (3.4). Якщо ж ріди­на рухається в кільцевому зазорі, то dГ = D—d, де D — зовнішній, а d — внутрішній діаметри зазора.

 

Рис. 4.5. Місцеві гідравлічні опори:

а  — засувка; б  — діафрагма; в  — поворот; г — вентиль

 Місцеві опори

 

 На місцевих гідравлічних опорах; унаслідок зміни конфігурації потоку на коротких ділянках змінюються швидкості руху рідини за значенням і напрямком та утворюються вихорі. Це й є причиною місцевих втрат напору. Місцевими опорами є розширення та звуження русла, поворот, розгалуження потоку, шайба, діафрагма, вентиль, засувка, кран тощо (рис. 4.5).

Втрати напору на місцевих опорах визначають за допомогою формули Вайсбаха

                                      (18)

де  — коефіцієнт місцевого опору;  — середня швидкість після місцевого опору, іноді — до опору.

Використовують також формулу (3) у вигляді

де  — еквівалентна довжина місцевих опорів, тобто довжина тру­бопроводу, втрати напору в якому такі ж, як і на місцевих опорах.

Рис. 4.6. Різке та плавне розширення

При турбулентному режимі коефіцієнт  залежить в основному від різновиду опору, а при ламінарному – також від числа Рейнольдса. Для всіх місцевих опорів цей коефіцієнт визначають експериментально. Лише для різкого розширення (рис. 4.6) теоретично вивели формулу Борда

                          (19)

де ν1, v2 — швидкості рідини перед і після різкого розширення. Формулу Борда можна записати так:

            (19, а)

При цьому швидкості

Під час руху рідини із труби в резервуар виникає різке розши­рення потоку, при якому v2 ≈ 0, оскільки площа резервуара ве­лика. Для цього випадку, тобто для входу в резервуар

                          (20)

Рис. 4.7. Різке та плавне звуження

 Для зменшення втрат напору труби різного діаметра з'єднують конічною вставкою — дифузором (див. рис. 4.6). Найменші втрати напору будуть, якщо дифузор має кут між стінками 6°, при цьому ξ =0,15.

Для різкого звуження (рис. 4.7) при d2 < 0,5 d1 можна викори­стати емпіричну формулу Ідельчика

                              (21)

а при d2 > 0,5 d1 — формулу Альтшуля

                         (22)

де  = 0,57  - коефіцієнт стиснення; n – ступінь стиснення

                         (23)

Вихід рідини із резервуара з дуже великим діаметром d1 в трубу є різким звуженням.  Тоді з формули (4.19) .

Ділянка з плавним звуженням називається конфузором (див. рис. 4.7). Найменше значення коефіцієнта місцевого опору для нього  = 0,1.

Коефіцієнти  для інших місцевих опорів наведені в додатку IV. Цими даними можна користуватися, якщо відстань між окремими опорами не менша (40. . .60)d.

 При числах Рейнольдса, менших   10000,   коефіцієнт місцевого опору обчислюють за формулою Альтшуля

                      (24)

де  визначається як вказано вище; А— коефіцієнт, значення якого наве­дені в додатку IV.

При дуже малих значеннях Re рі­дина протікає через місцеві опори без відриву

                                      (25)

 

Приклад 1. Обчисліть критичну швидкість, при якій настає перехід від ламінарного режиму до перехідної зони в трубі діамет­ром 3 см під час руху води і повітря при температурі 25°С та гліцерину при 200С.

Розв'язання. При t = 25°С кінематична в'язкість води  = 0,9 · 10-6 м2/с, а повітря  = 16,15-10-6 м2/с.

 

Приклад 2. До гідророзподільника об'ємного гідроприводу масло тече по трубі діаметром 10 мм, а потім по трубі діаметром 16 мм. Який буде режим руху масла в кожній з труб, якщо витра­та становить 1 л/с, а кінематична в'язкість масла 4·10-5 м2/с?

Розв'язання. Число Рейнольдса . Оскільки швидкість v = 4Q/(πd2), то Re= 4Q/(πd).

Отже, у першому випадку маємо перехідну зону, у другому — ламінарний режим.

 

Приклад 3. Визначте максимально допустимий діаметр трубок конденсатора парової турбіни, при якому ще буде забезпечуватися турбулентний рух. Кількість трубок конденсатора 250, сумарна ви­трата води для охолодження 8 л/с. Нижню межу турбулентного режиму вважати при Reкр = 3000. Температура води 10°С,  = = 0,013 см2/с.

Розв'язання. Критичне число Рейнольдса Reкр = υd/, або вра­ховуючи, що υ = 4Q/(πd2n), ReKp = 4Q/(πdn). Звідси

 

Приклад 4. Масло, кінематична в'язкість якого 14 см2/с, про­тікає в трубці діаметром 25 мм. Визначте витрату, середню швид­кість і максимальну швидкість, якщо втрати напору на одиницю довжини трубки дорівнюють 0,5 м/м.

Розв'язання. Вважаючи режим ламінарним, використаємо фор­мулу Пуазейля

Середня швидкість   см/с. Перевіримо, чи режим справді ламінарний, визначивши число Рейнольдса

                                             

Отже, режим ламінарний i итах = 2· = 2· 6,85= 13,7 см/с.

 

Приклад 5. У трубі діаметром 150 мм протікає масло, питома маса якого 900 кг/м3, а кінематична в'язкість 1,6 см2/с. Витрата масла 30 л/с. Перевірте, чи режим руху ламінарний, та обчисліть швидкість на осі труби і втрати тиску на одиницю довжини труби.

Розв'язання. Число Рейнольдса

що менше від Reкр=2300. Отже, режим ламінарний. Середня швид­кість руху

 м/с

Швидкість по осі труби — це максимальна швидкість, итах = 2· = 2 · 1,7 = 3,4 м/с.

Оскільки

  

то

 Па/м

 

Приклад 6. Визначте гідравлічний коефіцієнт тертя під час руху води (= 10-6 м2/с) в новому чавунному трубопроводі діа­метром 150 мм зі швидкістю 2 м/с.

Розв'язання. Число Рейнольдса

Отже, режим руху турбулентний. Для визначення зони опору з додатка II беремо значення еквівалентної шорсткості, яке для но­вих чавунних труб Δе = 0,3 мм.  Верхня межа другої перехідної зони . Оскільки  то використовуємо формулу Шифрінсона

За формулою Прандтля—Нікурадзе.  

З графіка (додаток III)  λ = 0,0233.

 

Приклад 7. Горизонтальну трубу діаметром 0,1 м раптово змі­нює труба діаметром 0,15 м. Витрата води становить 30 л/с. Виз­начте місцеві втрати напору на раптове розширення; втрати напору при зворотній течії води (раптове звуження) і коефіцієнти місце­вого опору в обох випадках.

Розв'язання. Використовуємо формулу Борда

                                                           
для якої обчислюємо


 ;

Тоді

 

Якщо винести  за дужки, то

При раптовому звуженні

де ;п — ступінь стиснення n = S1/S2= (dl/d2)2 = (0,1/0,15)2 = 0,444.

У цьому випадку при зворотній течії перерізи 1—1 і 2—2 помі­няються місцями (див. рис. 4.6 і 4.7), тому індекси 1 і 2 всіх пара­метрів також треба поміняти. Тоді коефіцієнт стиснення

, а

Коефіцієнт опору

 

Приклад 8. Наприкінці мазутопроводу діаметром 0,15 м є засувка Лудло. Витрата рідини питомою масою 900 кг/м3 і в'яз­кістю  10-4 м2/с становить 40 л/с. Обчисліть коефіцієнт опору за­сувки при ступені її відкриття 0,75.

Розв'язання.  Оскільки  рідина  в'язка, то спочатку  визначимо число Рейнольдса

При Re < 104 коефіцієнт опору

При ступені відкриття засувки 0,75 = 0,2, а коефіцієнт А = 350. Тоді

.

 

Рекомендована література

1.    Возняк Л.В., Гімер П.Р., Мердух М.І., Паневник О.В. Гідравліка, навчальний посібник. — Івано-Франківськ : ІФНТУНГ, 2012. — 327

2.    Мандрус В. І. Машинобудівна гідравліка. Львів, 1995

3.    Конспект лекцій з дисципліни «Основи гідравліки» для студентів гірничих спеціальностей. Павлоград, 2021

4.    Методичні рекомендації до виконання самостійних робіт з дисципліни «Основи гідравліки». Павлоград, 2021

5.    Методичні рекомендації до виконання лабораторних робіт з дисципліни «Основи гідравліки». Павлоград, 2021