ЛЕКЦІЯ 6

Тема:  Рівняння Бернуллі, його гідравлічний та фізичний зміст, одиниці вимірювання, графічна інтерпретація і практичне застосування.

 

План

1. Рівняння Бернуллі.

2. Гід­равлічний похил.

3. П'єзометричний похил.

4. Геометричний похил.

 

РІВНЯННЯ БЕРНУЛЛІ

Рівняння Бернуллі — одне з основних рівнянь гідравліки. Його використовують під час розв'язування практичних задач, особливо при розрахунках трубопроводів. Для потоку реальної рідини це рівняння має вигляд

                 (1)

де -z — відстань від довільно вибраної горизонтальної площини порівняння до центра ваги перерізу потоку; р — тиск у центрі ваги перерізу; v — середня швидкість рідини в цьому перерізі. Індекси 1 і 2 належать відповідно до першого і другого перерізів; а —коефіцієнт кінетичної енергії, який враховує похибку при розрахунках; за середньою швидкістю v. Його значення в межах від 1 до 2. Потреба в цьому коефіцієнті виникає тому, що середня швидкість v однакова для всіх точок перерізу, а місцеві швидкості и в будь-яких точках перерізу різні (див. рис. 3.1).

Зменшення повного напору відносно довжини називається:

=                 (2)

Відношення зміни п'єзометричного напору до довжини потоку — п'єзометричний похил:

=                                   (3)

Відношення зміни геометричної висоти до довжини потоку на­зивається геометричним похилом:

                           (4)

Геометричний і п'єзометричний похили можуть бути додатними, нульовими і від'ємними. Гідравлічний похил завжди додатний, ос­кільки лінія повного напору постійно знижується вздовж потоку.

Приклад 1. У похилому трубопроводі увімкнена вставка, діа­метр якої змінюється від 200 до 90 мм. До перерізів 1—1 і 2—2 підключені трубки диференціального манометра (рис. 3.3), рівень ртуті в якому перемістився на h = 90 мм. Визначте витрату води в трубопроводі.

Розв'язання. Записуємо рівняння Бернуллі для перерізів 1—1 і 2—2, нехтуючи втратами напору,

З рівняння рівноваги стовпчика ртуті в манометрі можна за­писати

р2 — питома маса ртуті. З цього рівняння

Порівнюючи (3.9) і (3.10), маємо

де δ — відношення р2/р1 = 13,6.

Використовуючи рівняння нерозривності

де  , — площі   перерізів   потоку,   виразимо швидкість v2 через v1:

 

Отже, витрата

 

Приклад 2. Фонтанна трубка закінчується конічним насадком, розміри якого такі:                 D = 50 mm; d=10 мм, H=50 см (рис. 3.4). Якою буде витрата води при висоті польоту струменя 8 м? Обчис­літь значення тиску при вході в насадок.

Розв'язання. Не беручи до уваги опір повітря і втрати напору всередині насадка, можна записати, що при виході вся кінетична енергія переходить у висоту струменя, тобто
,  звідки

Витрата    

Тиск у перерізі 1—1 обчислюємо з рівняння Бернуллі (аі = а2=1)

Урахувавши   рівняння   нерозривності  ,   маємо

,

тоді  надлишковий  тиск

 

 

          Задача 3. Визначити витрату рідини, що проходить через трубу діаметром d= 40 мм з повним заповненням, якщо середня швидкість потоку v= 1,2 м/с.

 

Рішення.

Визначувана витрата рідини:

Q= vw =  = 0,0015 м3/с = 5,4 м3/ч.

 

          Задача 3.2. Підібрати площу живого перетину каналу прямокутного поперечного перетину для пропуску витрати Q= 3200 л/с при середній швидкості перебігу v=80 см/с.

         

Рішення.

Виразимо всі величини в єдиній системі одиниць (СІ):

 

Q = 3200 л/с = м3/с; v = 80 см/с = 0,8 м/с.

Визначаємо площу живого перетину:

 

м2.

 

          Задача 4. Визначити середню швидкість руху рідини в трубі діаметром d=40 мм, заповненою повним перерізом при пропуску витрати води Q = 0,8 л/с.

          Рішення.

Виразимо витрату в СІ:

Q = 0,8 л/с = 0,0008 м3/с.

Визначаємо середню швидкість:

 

 м/с.

          Задача 5. Визначити масову витрату гарячої води в трубопроводі з діаметром d = 412 мм, якщо відомо, що швидкість води v=3 м/с і щільність rв = 917 кг/м3.

          Рішення.

Визначувана об'ємна витрата:

 м3/с.

Визначувана масова витрата:

М = Qρв = 0,45 × 917 = 412,6 кг/с.

 

          Задача 6. Визначити середню швидкість і витрату рідини в перетині більшого діаметру конічної труби, якщо d1 = 400 мм, d2 = 200 мм і середня швидкість в перетині меншого діаметру v = 1,0 м/с.

         

Рішення.

З рівняння нерозривності потоку

v1S1 = v2S2 = const

витікає, що

 або

 

Визначаємо середню швидкість в перетині більшого діаметру труби:

 

 м/с.

Визначувана витрата рідини в трубі, оскільки

QI = QII = Q = const, а

Q = v1S1 = v2S2= const, то

 м3/с, або 113,04 м3/ч.

 

Контрольні питання

1. У чому полягають завдання і об'єкт вивчення гідродинаміки?

2.   Охарактеризуйте сталий і несталий рух рідини.

3.   Охарактеризуйте рівномірний і нерівномірний рух рідини.

4.   Що називається живим перетином і три його характеристики (площа, змочений периметр і гідравлічний радіус)?

5.   Дайте визначення витраті і середній швидкості потоку; їх розмірності.

6.   Охарактеризуйте основні поняття струменистого руху (рідка частинка, траєкторія, елементарна цівка, лінія струму, трубка струму).

7.   Дві властивості елементарної цівки.

8.   Що таке потік рідини?

9.   Напишіть і поясніть рівняння постійності витрати.

10. У чому полягає суть рівняння нерозривності потоку?

11. Напишіть рівняння Бернуллі для потоку, що воно виражає і як читається? Його фізичний сенс, розмірності членів рівняння.

12. Охарактеризуйте графічне зображення рівняння Бернуллі (п'єзометрична лінія, напірна лінія тощо).

 

Рекомендована література

 

1.      Возняк Л.В., Гімер П.Р., Мердух М.І., Паневник О.В. Гідравліка, навчальний посібник. — Івано-Франківськ : ІФНТУНГ, 2012. — 327

2.      Мандрус В. І. Машинобудівна гідравліка. Львів, 1995

3.      Конспект лекцій з дисципліни «Основи гідравліки» для студентів гірничих спеціальностей. Павлоград, 2021

4.      Методичні рекомендації до виконання самостійних робіт з дисципліни «Основи гідравліки». Павлоград, 2021

5.      Методичні рекомендації до виконання лабораторних робіт з дисципліни «Основи гідравліки». Павлоград, 2021