Самостійна робота № 5.

Тема: Рівняння Бернуллі. Витрати напору.

Мета: поглибити знання студентів з даної теми шляхом роз̕взування якісних та розрахункових задач.

Теоретична частина

РІВНЯННЯ БЕРНУЛЛІ

Рівняння Бернуллі — одне з основних рівнянь гідравліки. Його використовують під час розв'язування практичних задач, особливо при розрахунках трубопроводів. Для потоку реальної рідини це рівняння має вигляд

де -z — відстань від довільно вибраної горизонтальної площини порівняння до центра ваги перерізу потоку; р — тиск у центрі ваги перерізу; v — середня швидкість рідини в цьому перерізі. Індекси 1 і 2 належать відповідно до першого і другого перерізів; а —коефіцієнт кінетичної енергії, який враховує похибку при розрахунках; за середньою швидкістю v. Його значення в межах від 1 до 2. Потреба в цьому коефіцієнті виникає тому, що середня швидкість ^v однакова для всіх точок перерізу, а місцеві швидкості и в будь-яких точках перерізу різні (див. рис. 3.1).

Зменшення повного напору відносно довжини називається гідравлічним похилом:

Відношення зміни п'єзометричного напору До довжини потоку — п'єзометричний похил:

Відношення зміни геометричної висоти до довжини потоку називається геометричним похилом:

Геометричний і п'єзометричний похили можуть бути додатними, нульовими і від'ємними. Гідравлічний похил завжди додатний, оскільки лінія повного напору постійно знижується вздовж потоку.

Приклад 5.1. У похилому трубопроводі увімкнена вставка, діаметр якої змінюється від 200 до 90 мм. До перерізів 1—/ і 2—2 підключені трубки диференціального манометра (рис. 3.3), рівень ртуті в якому перемістився на h = 90 мм. Визначте витрату води в трубопроводі.

Розв'язання. Записуємо рівняння Бернуллі для перерізів /—/ і 2—2, нехтуючи втратами напору,

З рівняння рівноваги стовпчика ртуті в манометрі можна записати

р2 — питома маса ртуті. З цього рівняння

Порівнюючи (3.9) і (3.10), маємо

де δ — відношення р₂/р₁ = 13,6.

Використовуючи рівняння нерозривності

де , — площі перерізів потоку, виразимо швидкість v₂ через v₁:

Отже, витрата

Приклад 5.2. Фонтанна трубка закінчується конічним насадком, розміри якого такі: D = 50 mm; d=10 мм, H=50 см (рис. 3.4). Якою буде витрата води при висоті польоту струменя 8 м? Обчисліть значення тиску при вході в насадок.

Розв'язання. Не беручи до уваги опір повітря і втрати напору всередині насадка, можна записати, що при виході вся кінетична енергія переходить у висоту струменя, тобто
, звідки

Витрата

Тиск у перерізі 1—1 обчислюємо з рівняння Бернуллі (аі = а₂=1)

Урахувавши рівняння нерозривності , маємо

тоді надлишковий тиск

Приклад 5.3. На рис. 3.5 зображено систему послідовно з'єднаних труб. Визначте швидкість витікання, і витрату для випадку, якщо рухається нев'язка рідина. Як зміниться витрата, якщо сумарні втрати напору в системі 2Л = 2,75 м? Уважати, що d_x = = 100 mm, U = 150 м, d₂ = 200 mm, /₂ = 50 m, d₃ = 36 mm, b=10 м.

Розв'язання. Записавши рівняння Бернуллі для перерізів 1—1 і 2—2 і врахувавши, що Z₁ = H, z₂ = 0, υ₁=0 , отримаємо

РЕЖИМИ РУХУ РІДИНИ

Течія рідини має два режими руху — ламінарний і турбулентний. При ламінарному режимі частинки рідини рухаються паралельно одна до одної вздовж осі труби зі сталими швидкостями. Цей рух усталений. При турбулентному режимі окремі частинки рухаються хаотично, їхні траєкторії перетинаються, окремі об'єми перемішуються й обертаються. У результаті виникають пульсації тисків і швидкостей, тому рух неусталений.

Режим руху рідини визначають за допомогою безрозмірного числа Рейнольдса

де v — середня швидкість руху рідини; R — гідравлічний, радіус, який визначають за формулою (3.4); v — кінематична в'язкість рідини.

Для круглих труб R = d/4, тому

Експериментально визначено, що для круглих труб при Re< 2300 режим ламінарний, при R>4000 — турбулентний, при 2300<Re<4000 — перша перехідна зона. У ній почергово існує то ламінарний режим, то турбулентний.

Ламінарний режим виникає в тонких капілярних трубках, під час руху високов'язких рідин, фільтрації води в порах грунту, при малих швидкостях. Малов'язкі рідини (вода, бензин, спирт) майже завжди рухаються при турбулентному режимі.

Приклад 5.4. Обчисліть критичну швидкість, при якій настає перехід від ламінарного режиму до перехідної зони в трубі діаметром 3 см під час руху води і повітря при температурі 25 °С та гліцерину при 20 ^СС.

Розв'язання. При t = 25 °С кінематична в'язкість води v = 0,9 ·10^-6 м²/с, а повітря v= 16,15-10-⁶ м²/с.

Приклад 5.5. До гідророзподільника об'ємного гідроприводу масло тече по трубі діаметром 10 мм, а потім по трубі діаметром 16 мм. Який буде режим руху масла в кожній з труб, якщо витрата становить 1 л/с, а кінематична в'язкість масла 4-10^-5 м²/с?

Розв'язання. Число Рейнольдса Re = ud/v. Оскільки швидкість v = 4Q/{nd²), то Re = 4Q/(πdv).

Отже, у першому випадку маємо перехідну зону,; у другому — ламінарний режим.

Приклад 5.6. Визначте максимально допустимий діаметр трубок конденсатора парової турбіни, при якому ще буде забезпечуватися турбулентний рух. Кількість трубок конденсатора 250, сумарна витрата води для охолодження 8 л/с. Нижню межу турбулентного режиму вважати при Re_Kp = 3000. Температура води 10 °С, v = = 0,013 см²/с.

Розв'язання. Критичне число Рейнольдса Re_Kp = υd/v, або враховуючи, що v = 4 Q/(nd²n), Re_Kp = 4 Q/{πdvn). Звідси

ГІДРАВЛІЧНІ ОПОРИ

У рівнянні Бернуллі буквою h₁-₂ позначені втрати напору між перерізами. Ці втрати пов'язані з гідравлічними опорами, що їх долає потік рідини під час руху.

Гідравлічні опори і втрати напору на них бувають двох видів — поздовжні, пов'язані з довжиною і діаметром трубопроводу, і місцеві, пов'язані зі зміною конфігурації потоку на малій ділянці.

ПОЗДОВЖНІ ОПОРИ

Для визначення поздовжніх втрат напору h_l використовують формулу Дарсі—Вайсбаха

де λ — гідравлічний коефіцієнт тертя (коефіцієнт Дарсі); l-довжина трубопроводу; d — його діаметр; v — середня швидкість рідини.

При ламінарному режимі коефіцієнт Дарсі обчислюють теоретично:

З урахуванням (4.2) після перетворень отримаємо декілька видів формули Пуазейля:

де — кінематична в'язкість; µ— динамічна в'язкість; Δр_l=ρgh_l — втрати тиску на тертя по довжині; Q — витрата рідини; r_о — радіус труби.

Швидкість рідини в окремих точках перерізу круглоциліндричної труби (місцева швидкість) описує формула Стокса

де r — відстань від центра перерізу до точки, в якій визначають швидкість.

Розподіл місцевих швидкостей показаний на рис. 4.1. Максимальна місцева швидкість

З формули (4.4) середня швидкість

Теоретично визначено що коефіцієнт кінетичної енергії в рівнянні Бернуллі для ламінарного режиму α = 2.

При турбулентному режимі рідина перемішується, виникає пульсація швидкостей і тисків. Місцева миттєва швидкість з часом коливається навколо певного середнього значення — місцевої усередненої швидкості и₀ (рис. 4.2). При турбулентному режимі ця швидкість замінює місцеву, чим, по суті, неусталений рух зводиться до квазіусталеного (умовно усталеного). Під час руху рідини вздовж стінки труби є тонкий в'язкий прошарок (рис. 4.3), після невеликої перехідної зони — основна частина потоку: турбулентне ядро, яке рухається майже з однаковими усередненими швидкостями u_o. Зв'язок між усередненою максимальною и_ом і середньою v швидкостями такий:

Для розподілу швидкостей u_o запропоновано багато формул, наприклад:

де у — відстань від стінки до точки, в якій визначають швидкість.

Коефіцієнт кінетичної енергії а залежить від числа Рейнольдса: при Re = 4000 a= 1,13; при Re = 3-10⁶ а= 1,025. У практичних обчисленнях можна брати а=1.

Для визначення коефіцієнта Дарсі при турбулентному режимі на основі численних експериментів запропоновані різні емпіричні й напівемпіричні формули. У них враховані діаметр труб, число Рейнольдса й еквівалентна шорсткість Д_е (уявна висота виступів на внутрішній поверхні труб, яка: при обчисленнях дає такі ж втрати напору, як і при наявності дійсних виступів). Значення еквівалентної шорсткості наведені в додатку II.

Залежно від впливу перелічених факторів на коефіцієнт Дарсі в турбулентному режимі виділяють три зони, — гідравлічно гладких труб, другу перехідну і квадратичну (гідравлічно шорстких труб).

Турбулентне ядро потоку під час руху не торкається виступів, і тому швидкість на гідравлічний опір не впливає. Коефіцієнт Дарсі залежить тільки від числа Рейнольдса, його обчислюють за формулами Блазіуса

У другій перехідній зоні зі збільшенням Re висота в'язкого прошарку зменшується, і виступи шорсткості будуть контактувати з турбулентним ядром. На коефіцієнт Дарсі впливають як шорсткість, так і число Рейнольдса. У цій зоні можна користуватися формулами Колбрука—Уайта

або Альтшуля

Рис. 4.4. Шорсткість гідравлічно гладких (а);

гідравлічно шорстких (б) труб:

1 — турбулентне ядро; 2 — в'язкий прошарок.

У квадратичній зоні (гідравлічно шорстких труб), тобто при Re>500 d/Δe, висота в'язкого прошарку δ_в дуже мала, тому виступи шорсткості обтікаються турбулентними ядром з вихорами (рис. 4.4, б). Коефіцієнт Дарсі залежить тільки від шорсткості. Його можна обчислити за формулами Прандтля—Нікурадзе

або Шифрінсона

Формула Альтшуля (4.14) є універсальною для всіх зон турбулентного режиму. При малих значеннях Re вона перетворюється у формулу Блазіуса (4.11), при великих — у формулу Шифрінсона (4.16).

Отже, коефіцієнт Дарсі λ можна обчислити за допомогою двох формул: при ламінарному режимі (4.2), при турбулентному — (4.14).

Коефіцієнт Дарсі при турбулентному режимі можна визначити і графічно (додаток III). Для цього треба знати число Рейнольдса Re і відношення /. Різниця в значеннях λ, отриманих графічно і за формулою Альтшуля (4.14), становить не більше одної-двох одиниць у третьому знаці, що цілком допустимо.

Поздовжні втрати напору залежать від швидкості й витрати рідини при ламінарному режимі в першому степені, в зоні гладких труб — у степені, 1,75, у другій перехідній зоні — у степені від 1,75 до 2, у квадратичній зоні — у степені 2, тобто у квадраті, рід чого й походить її назва.

Завдання

Задача № 1.

Визначити витрати ( Q м³/c) в горизонтальному трубопроводі змінного перерізу , швидкість ( V м/c ) на кожному із дільниць та побудувати п’єзометричну лінію , якщо є Н , d_{1 ,}d_{2 ,}d_{3 ,} ( м ). Вихідні данні приведені в таблиці 5.1.

Таблиця 5.1. – вихідні данні до задачі № 1

Показни-ки	Одиниці вимірювання	Варіанти
Показни-ки	Одиниці вимірювання	1,11,21	2,12,22	3,13,23	4,14,24	5, 15, 25	6,16,26	7, 17, 27	8,18,28	9, 19, 29	10, 20,30
H	м	12	6	7	8	10	11	5	4	9	13
d ₁	м	0,16	1,0	0,17	0,4	1,2	0,18	0,19	0,02	0,2	0,3
d ₂	м	0,2	1,2	0,9	0,8	2,0	0,2	0,3	0,1	0,4	0,6
d ₃	м	0,15	1,0	0,17	0,3	1,0	0,1	0,1	0,01	0,1	0,15

Задача № 2

По трубі діаметром ( d , м ) перекачується об`єм ( Q , м³/ c ) масла. Визначити режим руху Re, якщо коефіцієнт кінематичної в`язкості ( , м² /c ). Вихідні данні приведені в таблиці 5.2.

Таблиця 5.2. – вихідні данні до задачі № 2

Показ-ники	Одиниці вимірюван-ня	Варіанти
Показ-ники	Одиниці вимірюван-ня	1,21	2,22	3,23	4,24	5	6,25	7	8	9	10
d	м	0,01	0,2	0,5	0,8	0,4	0,6	0,01	0,7	0,03	0,3
Q	м3/c	0,4	0,8	0,7	10	0,8	8	0,09	0,9	1,2	1,6
× 10-2	м2 /с	0,5	0,35	0,04	0,3	0,2	0,4	0,3	0,03	0,1	0,025

Задача № 3

Визначити режим руху нафти у трубопроводі діаметром (d , мм) при швидкості руху ( V, м / c ). Кінематична в`язкість (γ , м²/ с ). Вихідні данні приведені в таблиці 5.3.

Таблиця 5.3. – вихідні данні до задачі № 3.

Показ-ники	Одиниці вимірювання	Варіанти
Показ-ники	Одиниці вимірювання	11,26	12,27	13,28	4,29	15,3	16	17	18	19	20
d	мм	400	250	320	420	500	480	600	280	300	180
_V	м/c	1,2	0,13	2,1	4,0	3,1	0,8	1,3	0,9	0,85	2,5
γ × 10^-4	М²/c	0,3	0,01	0,025	0,4	0,02	0,01	0,03	0,4	0,5	0,7

Задача № 4.

Визначте швидкість витікання і витрату для випадку , якщо рухається нев`язка рідина. Як зміниться витрата , якщо сумарні втрати напору в системі ( , м ) , вважаючи , що d_{1 ,}мм ; d₂ , мм , l₁, м ; l₂, м ; d₃, мм ; Н , м. Вихідні данні приведені в таблиці 5.4.

Таблиця 5.4. – вихідні данні до задачі № 4.

Показ-ники	Одиниці вимірю-вання	Варіанти
Показ-ники	Одиниці вимірю-вання	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
∑h	м	0,5	1,3	2,75	8,2	3,8	1,2	0,8	4,2	0,7	5,4
d₁	мм	150	140	100	120	80	60	180	210	220	210
d₂	мм	300	280	200	260	200	180	300	320	360	380
l₁	м	200	300	150	240	400	250	500	320	280	420
l₂	м	100	50	50	100	80	120	60	40	180	230
d₃	мм	50	40	36	26	48	50	120	140	100	140
Н	м	100	200	10	300	120	140	220	180	90	120

Задача № 5.

Гідро розподільника об’ємного гідроприводу масло тече по трубі діаметром (d_1,мм), а потім по трубі діаметром (d_2,мм). Який буде режим руху масла в кожній з труб, якщо витрата встановить (Q, л/с), а кінематична в’язкість масла (γ, м²/с). Вихідні данні приведенні таблиці 5.5.

Таблиці 5.5. – вихідні данні до задачі № 5.

Показни-ки	Одиниці вимірювання	Варіанти
Показни-ки	Одиниці вимірювання	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
d₁	мм	10	12	5	6	10	4	5	8	10	2
d₂	мм	16	24	13	18	22	12	17	20	14	10
Q	л/с	1	2	7	8	9	11	3	4	5	6
×10^-5	м²/с	4	8	6	9	5	2	7	3	1	0.1

Задача 6.

Між двома пунктами А і Б на горизонтальній місцевості прокладено водогін зі стальних труб довжиною і діаметром . Витрата і гідравлічний коефіцієнт тертя . Визначити втрати напору по довжині і напір у кінці трубопроводу , якщо у пункті А встановлена водонапірна башта висотою .Вихідні дані приведені у таблиці 5.6

Таблиці 5.6. – вихідні данні до задачі № 6.

№ вар.	1,12,14,19	2,11,13,21	3,10,15,22	4,9,16,23	5,8,17,24	6,7,18,20,25
,м	3600	1800	4000	2800	3000	4500
,мм	350	150	400	150	200	500
,	0,125	0,02	0,04	0,08	0,03	0,25
	0,03	0,01	0,04	0,003	0,02	0,07
,м	45	80	30	75	50	98

Задача 7.

Визначити місцеві втрати , якщо рідини рухається зі швидкістю крізь циліндричний трубопровід з закругленими кромками з одним коліном при оптимальному співвідношенні: з вентилем при середньому відкритті з виходом з труби у резервуар під рівень рідини.Вихідні дані приведені у таблиці 5.7.